Les dérangements de 12 chapeaux.

Permutations et dérangements

Singe joueur

À leur arrivée, douze personnes déposent leurs chapeaux au vestiaire.
Un singe facétieux change les chapeaux de place, au hasard.
En repartant, les personnes récupèrent ce qu'elles croient être leurs chapeaux, aux emplacements où elles les ont mis.

Quelle est la probabilité qu'aucune de ces personnes ne retrouve son chapeau.

Définitions

Une permutation de E = [1, n]={1, 2, ..., n} est une bijection de E vers E.

On appelle point fixe d'une permutation f de E tout x de E tel que f(x)=x.
Les points fixes de f sont leurs propres images.

Les dérangements de E sont les permutations de E sans points fixes.

Nombres de points fixes

Simulations

Fréquences des points fixes

Fréquences des nombres de points fixes par permutation

Le diagramme ci-dessus indique (en ordonnées) les fréquences des nombres de points fixes (abscisses) des permutations construites aléatoirement.
On obtient par cette simulation une approwimation des probabilités d'avoir 0, 1, 2... chapeaux à leur place d'origine, dans une permutation de l'ensemble des 12 chapeaux.
La fréquence associée à l'abscisse 0 est celle du nombre de dérangements (permutations avec 0 point fixe)

Calculs

Nombres de dérangements (fichier pdf)

Petits programmes (bc) de calcul des nombres de dérangements par récurrence, ou de la probabilité (12 chapeaux).

              p = 0,36787944132128159905
            1/p = 2,71828182735187440887

À voir sur le site

Permutations et dérangements (et permutations alternantes) de [n] = {1,2, ... n}.

Documents, références, liens

Probability - Derangement The rec.puzzles archive.

A000166 Encyclopedia of Integer Sequences

Derangement and Inclusion-Exclusion Principle Eric W. Weisstein mathworld

Swapping Hats: A Generalization of Montmort's Problem Gabriela R. Sanchis

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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.