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Nombres vampires

Définition

Selon Clifford A. Pickover (Pickover, 1994) :

Les nombres vampires sont les entiers naturels produits n=ab de deux facteurs a et b tels que :

a et b ont autant de chiffres l'un que l'autre,
les chiffres de a et de b réunis sont exactement ceux de n,
n n'est pas obtenu en ajoutant des zéros à un plus petit nombre vampire.

a et b sont les deux crocs du nombre vampire n=ab.

Lorsqu'on n'impose pas aux crocs d'avoir le même nombre de chiffres, on a des pseudo-vampires.

Par opposition aux pseudo-vampires, les vampires sont des 'vrais' vampires.
Dans le cas des pseudo-vampires on peut toujours se limiter à deux facteurs sans zéros à droite, en les éliminant tout simplement.
En ajoutant des 0 au plus court des deux facteurs sans zéros à droite, on obtient alors les crocs d'un vrai vampire comme dans l'exemple ci-dessous :

         9 x 79110 = 711990     9 x 7911 = 71199      7911 x 9000 = 71199000

Résultats (en base dix)

vamp.tar.gz contient quelques utilitaires (scripts bash ou Awk) et le programme C qui utilise la bibliothèque gmp de grands entiers. Ce programme permet la recherche de nombres vampires écrits dans différentes bases (de 2 à 36) et d'un nombre pair quelconque de chiffres.

V₂

Il n'y a aucun vampire de 2 chiffres.

V₄

Les vampires de 4 chiffres sont au nombre de 7, ce sont

         15 x 93 = 1395, 21 x 60 = 1260, 21 x 87 = 1827, 27 x 81 = 2187
         30 x 51 = 1530, 35 x 41 = 1435, 80 x 86 = 6880

V₆

On dénombre 148 vampires de 6 chiffres, l'un d'entre eux est 2 fois vampire :

         204 x 615 = 246 x 510 = 125460

V₈

Il y a 3228 vampires de 8 chiffres, 13 d'entre eux le sont 2 fois :

         2886 x 9300 = 3900 x 6882 = 26839800,
         22569480, 12054060, 13002462, 12600324, 61360780, 26373600,
         12827650, 26198073, 11930170, 12417993, 23287176, 46847920

et un 14-ième vampire l'est même 3 fois :

         1620 x 8073 = 1863 x 7020 = 2070 x 6318 = 13078260

V₁₀

Parmi les 16670 vampires de 10 chiffres, 24 le sont deux fois mais pas plus.
Exemples :

         10130 x 99701 = 1009971130
         21474 x 57636 = 1237675464
	 11009 x 99110 = 11990 x 91001 = 1091101990
	 14150 x 83027 = 14315 x 82070 = 1174832050

V_n>10

Exemples de vampires de différentes longueurs en base dix
Nb. chif. vampire	Exemples (un exemple de chaque longueur)
12	183758 569204 104595788632
14	4044918 4076682 16489844402076
16	73824690 74058441 5467341448708290
18	636444908 637035557 405438036467593756
20	4178439263 4178503910 17459624798143018330
22	74795169012 74806591035 5595171619674389007420
24	646848714002 646850417336 418414360605448606738672
26	7896593927628 7896605241420 62356284998272608947951760
28	90765870245831 90765884614421 8238444505660604791917728851
30	800690438226776 800690541291530 641105260390749639582068007280
32	7890621146292999 7890621146302254 62261902074399269225108498119746
34	73611455030141441 73611455078461292 5418646315211430195471451403601772
36	878059243705180523 878059243706233814 770988035457038453803589221316804722
38	9427189041572426079 9427189041688233828 88871893226634978941092442178597200412
40	67835106415248801258 67835106415266313929 4601601662369317045751193883845558122682
42	523371065181668818442 523371065181794933279 273917271869460635860141823592538154731318
44	7258356221946085072286 7258356221946096141347 52683735044663526125127502997168782168409242
46	67250037190134522805691 67250037190134547294343 4522567502074478070334021619943993153172506013
48	405679065980694914575179 405679065980694941820132 164575504574969029004696579056819491149809703628
50	9938983827026148292267331 9938983827026148354765188 98783399513887341458063217618892922993086628473228

Autres bases de numération

Quelques résultats obtenus par le programme C qui peut trouver les vampires en toute base de 2 à 36.

Exemples de vampires dans diverses bases de numération
Commentaires	Bases	Exemples
Système Binaire	2	10110 x 11101 = 1001111110 10111 x 11001 = 1000111111 11001 x 11100 = 1010111100 11001 x 11110 = 1011101110 11010 x 11011 = 1010111110
Système Ternaire	3	200000 200011 110002200000 200002 212120 120202202010 222011 222011 221022201121
Système Quaternaire	4	113 x 302 = 101332 201 x 210 = 102210 201 x 300 = 120300
	5	100201 444400 100140424400 144221 400303 124404320013
	6	101021 553345 100353154125 111101 533423 104153113123
Octal	8	21 x 50 = 1250 21 x 66 = 1626 30 x 41 = 1430
Duodécimal	12	828 x B77 = 7B7828 850 x 969 = 685990
Hexadécimal	16	21 x 90 = 1290 21 x EA = 1E2A 30 x 81 = 1830
	20	1A x H5 = 15HA 21 x B0 = 12B0 21 x IC = 1I2C

Propriétés

a+b = a*b (mod base-1)

En base dix c'est l'application de la classique 'preuve par neuf'
D'une manière générale, comme q >1 est congru à 1 modulo q-1, et donc que c*q^n = c (mod q-1) on en déduit qu'un entier est congru à la somme de ses chiffres et donc que :

Si, en base q, n = a*b est un nombre vampire et si a, b sont ses crocs, alors, a+b = a*b (mod q-1).

Base q^2

Si n = a*b est un nombre vampire de k=2*r chiffres dans la base q^2 et si a et b ont k chiffres dans la base q, alors n est aussi un nombre vampire de 2*k chiffres en base q.

         1275 x 9741 = 12419775, 3267 x 9801 = 32019867 (base 10)

Les regroupements de 2 chiffres en 2 chiffres de l'écriture d'un nombre dans une base q donnent les chiffres du même nombre dans la base q^2.

         1275 x 9741 = 12419775  (12)(75) x (97)(41) = (12)(41)(97)(75)

Non seulement a+b=ab (mod q-1) mais aussi (mod q^2-1) et (mod q+1).
En fait il suffit de faire attention à ne pas avoir des 0 à gauche losqu'on passe de la base q^2 à la base q pour que le nombre soit vampire dans les deux bases, un contre-exemple est donné ci-dessous.

         0801 x 1350 = 1081350

Carrés

Quels sont les vampires de la forme n=a*a=a^2 ?
Programme : carre.c
En base dix on a par exemple :

         72576^2 = 5267275776
	 3279015^2 = 10751939370225
	 99748631^2 = 9949789386374161

Nombre de carrés n=a² en fonction de la base de numération et le nombre de chiffres
Base \ Nb. chif.	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
base 2	0	0	1	1	7	9	29	46	101	213
3	0	0	0	0	2	9	9	23	79	250
4	0	0	1	1	2	9	45	153	475	1756
5	0	0	0	0	0	9	34	203	749	3104
6	0	0	0	0	5	18	54	220	1018	4721
7	0	1	0	0	2	9	33	143	865	4471
8	0	0	3	2	11	12	33	165	777	4187
9	0	0	0	1	0	5	14	75	508	3067
10	0	0	0	0	1	4	14	82	418	2795

Problèmes apparentés

De près ou de très loin...

Doubles crocs (28297²=800720209)

Quels sont les entiers n, non divisibles par la base, qui ont exactement les mêmes chiffres non nuls que leurs carrés n^2 ?
Programme : double.c
En base dix on a

         n            n^2
         1            1
         28297        800720209
         877501       770008005001
         22517749     507049020027001         
         197486397    39000877000041609

Peut-on en trouver d'autres ?

En base 4 on en a une infinité :

        133333333^2 = 33333333000000001
	(2*4^k - 1)^2 = 4^(k+1)(4^k -1)+1

Liens

Vampire Numbers Walter Schneider

Vampire Numbers Dr. Leon (Len) Q. Brin

Vampire Numbers! John Childs - Le record : 100 digit vampire number.

The Prime-Vampire numbers The prime puzzles & problems connection.

MathWorld Eric Weisstein

Sequence A014575 N. Sloane - L'Encyclopédie Électronique des Suites Entières

Vampire numbers Jens Kruse Andersen

Vampire Number Coding Challenge National Instruments