Aire d'un triangle

Cette page est doublée par une NOUVELLE page plus complète, interactive et avec exemples, donnant l'aire du triangle, le périmètre, les hauteurs, les médiatrices et le rayon du cercle circonscrit.
Calculs inverses multiples. Entrez trois paramètres à votre choix, le programme tente de calculer les autres.
Calculs symboliques permettant d'obtenir les formules qui utilisent vos propres symboles de variables.

Le périmètre et le demi périmètre du triangle ABC sont

               périmètre = 2×p = a+b+c    demi périmètre = p = (a+b+c)/2

L'aire du triangle ABC est

               1/4 sqrt((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))

ou encore (formule de Héron)

               sqrt(p (p-a) (p-b) (p-c)) où p est le 1/2 périmètre.

Les hauteurs sont

               AH = 2×Aire/BC, BH' = 2×Aire/AC, CH" = 2×Aire/AB




Les cosinus des angles sont
               cos A = (b²+c²-a²) / (2×b×c)
               cos B = (c²+a²-b²) / (2×c×a)
               cos C = (a²+b²-c²) / (2×a×b)

on en déduit les angles en utilisant les fonctions inverses
               A = Arc cos (b²+c²-a²) / (2×b×c)
               B = Arc cos (c²+a²-b²) / (2×c×a)
               C = Arc cos (a²+b²-c²) / (2×a×b)

les angles sont convertis en degrés :   
               A_deg = A_rad × 180 / PI où PI = 3,141592...



Notations 

sqrt désigne la racine carrée, par exemple la racine carrée de 3 est sqrt(3)=1.732...

L'aire du triangle est donc la racine carrée du produit du demi-périmètre p par p-a, p-b
et p-c (les trois côtés sont soustraits du demi-périmètre, séparément).


Le carré de a est noté a², il est égal à a × a


+ - × /  sont les symboles de l'addition, de la soustraction de la multiplication et de la division.


Dans l'écriture sqrt(p (p-a) (p-b) (p-c)) les signes de multiplication sont omis, on aurait pu écrire sqrt(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))


Bugs

Les valeurs des aires sont étudiées et simplifiées avant d'être mises mises selon le cas sous la forme "a*sqrt b", "a/2 *sqrt b" ou encore "a/4 *sqrt b". Lorsque le résultat est "1*sqrt b" il est encore simplifié en "sqrt b". Malheureusement lorsque a était égal à 1 (et seulement à 1) les facteurs éventuels 1/4 ou 1/2 étaient également « oubliés » au moment de leur écriture. Le bug a été réparé.

 
Je vous remercie de me signaler les erreurs que vous décelez.

Autres pages de calculs

Solides Tous les calculs d'aires, de volumes ... sur la sphère (section, calotte), le cylindre, le cône et le tronc de cône. 


Voir aussi, plus simples, Cône et tronc de cône.