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Suite d'Euler-Bernoulli

Description

La suite d'Euler-Bernoulli 1 1 1 2 5 16 61 272 1385 ... peut se construire à l'aide d'un triangle qui ressemble au triangle de Pascal :
                             1
        Bernoulli         1  <- 0        Euler
                       0 ->  1     1
                    2     2     1  <- 0
                 0 ->  2     4     5     5
              16   16    14    10     5  <- 0
            0 ->16    32 -> 46    56    61    61
Les lignes se construisent alternativement de gauche à droite et de droite à gauche, en commençant par un zéro. Chaque élément est la somme de teux termes comme dans le motif ci-dessous :
                        14
                     32 -> 46=32+14

Suite d'Euler

Le versant de droite, après retrait des zéros, donne la suite d'Euler E(n) = 1, 1, 5, 61, ....
C'est la suite A000364 de njas : « Euler (or secant or "Zig") numbers: expansion of sec x ».
1 0 1 0 5 0 61 ... sont les numérateurs des coefficients du développement en série de
sec(x)=1/cos(x)=1+1/2 x2+5/24 x4 +...

Suite de Bernoulli

Le côté gauche donne la suite de Bernoulli T(n) = 1, 2, 16,...qui est reliée aux nombres (rationnels) de Bernoulli par la relation B(n) = 2nT(n)/(4n(4n-1)) pour n>0.
C'est la suite A000182 de njas : « Tangent (or "Zag") numbers ».
0 1 0 2 0 16 ... sont les numérateurs des coefficients de
tan(x)=1 x + 2/6 x3 + 16/120 x5 +...

Suite d'Euler-Bernoulli

En mêlant les deux suites K(n) = E(0), T(0), E(1), T(1),...,E(i), T(i),... on obtient la suite d'Euler-Bernoulli.
A000111K(n) =1,1,1,2,5,16,61,272,1385,7936,50521,...
La suite d'Euler-Bernoulli donne les numérateurs des coefficients de
sec(x)+tan(x) = Sommen K(n)/n! xn

suite d'Euler-Bernoulli
nombre de lignes :    coefs :   


Autres suites

Lors de la construction du triangle d'Euler-Bernoulli, chaque élément (de rang i) est calculé comme une combinaison linéaire de deux éléments de la ligne précédente n-1 (au-dessus) et de sa propre ligne n, les deux coefficients étant 1 et 1.
En changeant ces deux coefficients multiplicateurs, on obtient d'autres suites :

En choisissant les coefficients 2 1 on obtient les trois suites A012393, A002436 et A000831 : « Expansion of (1+tan x)/(1-tan x) ».

Essayer aussi 3 1, ou encore 1 2, et pourquoi pas -1 1, et même i+1 n.

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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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