Suite d'Euler-Bernoulli
Description
La suite d'Euler-Bernoulli
C'est la suite A000364 de njas : « Euler (or secant or "Zig") numbers: expansion of sec x ».
C'est la suite A000182 de njas : « Tangent (or "Zag") numbers ».
A000111
La suite d'Euler-Bernoulli donne les numérateurs des coefficients de
1 1 1 2 5 16 61 272 1385 ...
peut
se construire à l'aide d'un triangle qui ressemble au triangle de Pascal :
1 Bernoulli 1 <- 0 Euler 0 -> 1 1 2 2 1 <- 0 0 -> 2 4 5 5 16 16 14 10 5 <- 0 0 ->16 32 -> 46 56 61 61Les lignes se construisent alternativement de gauche à droite et de droite à gauche, en commençant par un zéro. Chaque élément est la somme de teux termes comme dans le motif ci-dessous :
14 32 -> 46=32+14
Suite d'Euler
Le versant de droite, après retrait des zéros, donne la suite d'EulerE(n) = 1, 1, 5, 61, ...
.
C'est la suite A000364 de njas : « Euler (or secant or "Zig") numbers: expansion of sec x ».
1 0 1 0 5 0 61 ...
sont les numérateurs des coefficients
du développement en série de
sec(x)=1/cos(x)=1+1/2 x2+5/24 x4 +...
Suite de Bernoulli
Le côté gauche donne la suite de BernoulliT(n) = 1, 2, 16,...
qui est reliée aux nombres (rationnels) de Bernoulli par la relation
B(n) = 2nT(n)/(4n(4n-1))
pour n>0.
C'est la suite A000182 de njas : « Tangent (or "Zag") numbers ».
0 1 0 2 0 16 ...
sont les numérateurs des coefficients de tan(x)=1 x + 2/6 x3 + 16/120 x5 +...
Suite d'Euler-Bernoulli
En mêlant les deux suitesK(n) = E(0), T(0), E(1), T(1),...,E(i), T(i),...
on obtient la suite d'Euler-Bernoulli.
A000111
K(n) =1,1,1,2,5,16,61,272,1385,7936,50521,...
La suite d'Euler-Bernoulli donne les numérateurs des coefficients de
sec(x)+tan(x) = Sommen K(n)/n! xn
Autres suites
Lors de la construction du triangle d'Euler-Bernoulli, chaque élément (de rang i) est calculé comme une combinaison linéaire de deux éléments de la ligne précédente n-1 (au-dessus) et de sa propre ligne n, les deux coefficients étant 1 et 1.
En changeant ces deux coefficients multiplicateurs, on obtient d'autres suites :
En choisissant les coefficients 2 1 on obtient les trois suites A012393, A002436 et A000831 : « Expansion of (1+tan x)/(1-tan x) ».
Essayer aussi 3 1, ou encore 1 2, et pourquoi pas -1 1, et même i+1 n.
En changeant ces deux coefficients multiplicateurs, on obtient d'autres suites :
En choisissant les coefficients 2 1 on obtient les trois suites A012393, A002436 et A000831 : « Expansion of (1+tan x)/(1-tan x) ».
Essayer aussi 3 1, ou encore 1 2, et pourquoi pas -1 1, et même i+1 n.
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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.