Linear numerical sequences with constant coefficients
and without second member
They are the sequences such as
un+1 - anun - an-1un-1 -
an-2un-2 - ... - an-kun-k = 0.
Calculation of un+1 by the relation of recurrence.
The relation of recurrence is :
un+1 = anun + an-1un-1 +
an-2un-2 + ...an-kun-k.
The known constants are an an-1, ... an-2.
The first terms uk, uk-1, ... u1, u0 are given.
The known constants are an an-1, ... an-2.
The first terms uk, uk-1, ... u1, u0 are given.
Examples
Sequence 0, 1, 2, ..., n, n+1, ...
(Sloane's A001477 The nonnegative integers).
Sequences of Fibonacci
(Sloane's A000045).
Lucas
(Sloane's A000032).
Perrin
(Sloane's A001608).
Padovan
(Sloane's A000931).
And determine the golden ratio and the plastic number as limits un+1 / un of Fibonacci or Padovan terms.
Pell Numbers
They are the convergent denominators of the continued fraction of sqrt(2). (Sloane's A000129).
Numerators of sqrt(2) convergents (the denominators are th pell numbers).
(Sloane's A001333).Suite Sn+1=Sn+Sn-3,
suite Sn=Sn-1+Sn-4 Sloane's A000930 et A003269 Narayana's Cows and Delayed Morphisms.
Sequence Np+1= 4 Np - Np-1
(Sloane's A003500).
Heronian triangle with consecutives edges N-1, N, N+1. For N=2 the triangle area is null, for N=4 one obtains the 3, 4, 5 pythagorean triangle : areas
(See also Heights and midperpendiculars of a triangle or Triangle area).
Links
Link page (sequences)
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Sloane.
Tales of a Neglected Number Mathematical Recreations by Ian Stewart.
Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number Richard Padovan.
Richard Padovan, "Dom Hans Van Der Laan and the Plastic Number", Nexus Network Journal, vol. 4, no. 3 (Summer 2002),
http://www.nexusjournal.com/N2002-Padovan.html.
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Morphic numbersJan Aarts, Robbert Fokkink, Godfried Kruijtzer.
Sequence Links
Fibonacci-Nim game
Narayana's Cows and Delayed Morphisms by Jean-Paul Allouche and Tom Johnson. Editions 75.
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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.